Termodinámica: Aprendiendo a interpolar

La interpolación se usa cuando queremos obtener valores intermedios en una tabla de propiedades termodinámicas, como las tablas de vapor. Este valor intermedio se obtiene, desde luego, de uno mayor y uno menor, que para propósitos de este blog los llamaremos valor máximo y mínimo.

Supongamos que queremos conocer el volumen específico de vapor de agua saturado a 100°C y a 0.06 bar. Esta tabla solo nos da valores para 80°C y 120°C. Llamaremos x a los valores de temperatura y f(x) a los de volumen específico. Los valores máximo y mínimo se denotarán con subíndice 1 y 2, mientras los intermedios no tendrán subíndice. La fórmula para obtener el valor intermedio de volumen específico (f(x)) es:

Si no se sabe de dónde viene esta fórmula, obviamente luce algo complicada, y recordarla puede costar trabajo. si ahora cambiamos las f(x) por y, tenemos

Ahora el volumen específico que buscamos está representado por y. Podemos simplificar la ecuación bastante distinguiendo dos tipos de diferencias: mayores y menores. Las mayores ocurrirán entre los valores máximos y mínimos (como y2-y1) y las menores ocurrirán entre n valor intermedio y uno mínimo (como x-x1). 

Si observamos con detalle el primer cociente de la ecuación es una división de la forma y/x, que es precisamente el concepto de pendiente. Como está formada por diferencias mayores, podemos llamarla pendiente mayor M.

Ya casi estamos. Finalmente, podemos llamar Δx a la diferencia menor x-x1

Esta fórmula ahora luce mucho más fácil de recordar. El valor y es igual a la pendiente de las diferencias menores por la diferencia menor de x más el valor mínimo de y.

Si queremos ir aún más allá podemos llevar y1 al otro lado de la ecuación. Del penúltimo paso tenemos:

Notemos ahora que hay dos diferencias menores, una de x y una de y

Ahora al pasar Δx al otro lado de la ecuación tenemos una nueva pendiente; esta vez de diferencias menores

Esta nueva pendiente podemos llamarla m. Entonces tenemos que m=M. Esta ecuación es mucho más fácil de recordar y si sabemos desglosarla podremos interpolar en cualquier momento sin necesidad de un formulario.

"La pendiente dada por las diferencias menores es igual a la pendiente dada por las diferencias mayores"

Este post nació principalmente porque siempre olvidaba la fórmula para interpolar y no sabía cómo era que se relacionaba con "el concepto de pendiente". Ya haré algo en relación a eso después, con más detalle. Por lo pronto creo que esto puede ser muy útil.